Zu 1:
.. kommt auf den Ladezustand, die Kapazität, die Temperatur und die Funktionstüchtigkeit des Akku an .. und natürlich der Höhe der abgerufenen Leistung der Verbraucher. Mit Fahrlicht, Sitzheizung und sonstiger "dicker Verbraucher" kanns im Winter bei tiefen Temperaturen schon nach wenigen Minuten "vorbei" sein mit Weiterfahrt.
zu 2:
Die Ladekontrollleuchte SOLLTE aufleuchten, wenn der Generator keine Lesitung mehr liefert -- aber was machst Du bei defekter Kontrollleuchte oder durchgegammelter "Dickstromleitung" vom Generator zum Akku?! .. das merkt der Generator nämlich nicht in der Art, dass die Ladekontrolleuchte angesteuert wird.
zu 3:
JA ... wenn die Zündanlage keinen Saft mehr bekommt, is' Schluss mit lustig.
.. übrigens auch bei einem Diesel, der ja gar keine Zündanlage hat: z.B. die Spritpumpe muss ja auch laufen und genug Förderdruck aufbauen 
Deine Öl-/Gasheizung im Haus läuft ja auch nicht ohne Strom ... aus ähnlichen Gründen 